Aidez moi svp, Equations du second degre

bjr

ex 1

dans cet exercice il faut penser aux produits remarquables  

• f(x) = 9x² - 1

différence de deux carrés   a² - b² = ......

9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x - 1)(3x + 1)

• g(x)     a²   -  2ab     + b² = (a - b)²  

           4x²  -   4x       + 1 =                           [* = fois]

           (2x)² - 2*2x*1) + 1²=

              (2x - 1)²

• h(x) = 2x² + 2√2x + 1                        (a + b)²

     2x est le carré de x√2

     1 est le carré de 1

le double produit est 2*x√2*1

    = (√2x + 1)²

• i(x) = x⁴ + 10x² + 25                     x⁴ est le carré de x²

                                                       25 est le carré de 5

                                             double produit : 2*5*x²

     = (x² + 5)²

ex 3

la forme canonique de ax² + bx + c  est  a(x - α)² + β

a est le coefficient de x, il faut trouver α et β

• f(x) = x² + 2x + 3

pour celui-ci c'est simple

       x² + 2x est le début du développement du carré de (x + 1)²

           (x + 1)² = x² + 2x + 1

  on remplace x² + 2x par (x + 1)² et on enlève le 1 que l'on a ajouté

f(x) =  (x + 1)² - 1 + 3

      = (x + 1)² + 2

• h(x) = 3x² + x - 2

  on met le coefficient de x en facteur dans les deux premiers termes

3x² + x - 2 = 3(x² + 1/3x) - 2

   x² + 1/3x est le début du développement d'un carré, il faut trouver lequel

on fait apparaître le double produit

 x² + 2*1/6*x      (double produit 2ab ; a = x  et b = 1/6)

x² + 2*1/6*x + (1/6)² = (x + 1/6)²

x² + 2*1/6*x  = (x + 1/6)² - (1/6)²

3(x² + 1/3x) - 2 = 3[(x + 1/6)² - (1/6)²] - 2

                       = 3(x  +  1/6)² - 3(1/6)² - 2

                      = 3(x +  1/6)² - 3/36 - 2

                     = 3(x +  1/6)² - 1/12 - 24/12

                    = 3(x +  1/6)² - 25/12

ce n'est pas simple (mais c'est du cours)

essaie de faire les 2 autres, je te donne les réponses

g(x) = x² + x + 1

    = (x + 1/2)² + 3/4

i(x) = 5x² - 7x + 1

    = 5(x -  7/10)² - 29/20

                  autre méthode pour le cas où tu l'aurais apprise

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = a(x - α)² + β

α et β sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente cette fonction

Ce sommet a pour abscisse  -b/2a

  et pour ordonnée f(-b/2a)

je l'applique à g(x) = x² + x + 1

abscisse du sommet : -b/2a = -1/2

ordonnée du sommet : g(-1/2) = (-1/2)² -1/2 + 1

                                                 = 1/4 - 1/2 + 1

                                                 = 1/4 - 2/4  + 4/4

                                                 = (1 - 2 + 4)/4

                                                 = 3/4

α = -1/2   ;   β = 3/4

d'où  (x + 1/2) + 3/4