Exercice 1 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-4; -3), B(2,5), C(4:1) et D(-2; -7). 1. Faire une figure. 2. Déterminer la nature du quadrilate

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

1) figure voir pièce jointe

2 ) Déterminer la nature du quadrilatere ABCD

Si les coordonnées de deux points d'un repère orthonormé sont connues alors il est possible de calculer la longueur du segment qu'ils définissent,

on calcule les mesures de AB et DC

AB = Distance entre deux points A et B

AB = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

AB = √(2+4)² + (5+3)²

AB = √(6² + 8²)

AB = √(36 + 64)

AB =√ 100

AB = 10

DC = Distance entre deux points D et C

DC = √(xC - xD)² + (yC -yD)²

DC = √(4+2)² + (1 + 7)²

DC = √(6² + 8²)

DC = √(36 + 64)

DC = √100

DC = 10

⇒AB = DC

puis on calcule les mesures de AD et BC

AD = distance ente les points A et D

AD = √(xD - xA)² + (yD -yA)²

AD = √(-2+4)² + (-7 +3)²

AD = √(-2)² + (-4)²

AD = √(4 + 16)

AD = √20 = √4 x 5

AD = 2√5

BC =√(xC -xB)² + (yC -yB)²

BC =√(4-2)² + (1 - 5)²

BC = √2² + (-4)²

BC = √(4 + 16)

BC = √20

BC = 2√5

⇒AD = BC

un quadrilatère dont les cotés opposés sont égaux deux à deux est un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme

3) si E symétrique de B par rapport à C alors C est le milieu de BE

les coordonnées d'un milieu C sont données par :

⇒xC = (xB + xE)/2

⇒yC = (yB + yE )/2

on connait les coordonnées de C (4 ; 1) et de B ( 2; 5)

⇒ on remplace les valeurs connues dans le système ci-dessus et on cherche les inconnues

⇒xC = (xB + xE)/2

• ⇒ 4 = (2 + xE)/2

• ⇒ 4 × 2 = 2 + xE

• ⇒ xE = 8-2

• ⇒ xE = 6

et

⇒ yC = (yB + yE )/2

• ⇒ 1 = (5 + yE)/2
• ⇒ 1 × 2 = 5 + yE
• ⇒ 2 = 5 +yE
• ⇒ yE = 2 -5
• ⇒ yE = -3

les coordonnées de E ( 6 ;-3 )

4 ) nature de ACED

on sait déjà que AD = CE = 2√5 puisque C milieu de BE alors BC = CE = AD

on calcule les mesures AC et DE

AC =√(xC - xA)² + (yC - yA)²

AC = √(4 +4)² + (1 +3)²

AC = √(8² + 4²)

AC = √(64 + 16)

AC = √80

AC = 4√5

DE = √(xE -xD)² + (yE - yD)²

DE = √(6 +2)² + (-3 +7)²

DE = √(8² + 4²)

DE = √(64 + 16)

DE =√80

DE = 4√5

donc AC = DE et AD = CE

les cotés opposés sont égaux 2 à 2 donc c'est un parallélogramme

DC = diagonale de ce parallélogramme avec DC = 10 (calculé au début)

calculons la mesure de AE l'autre diagonale

AE = √(xE - xA)² + (yE - yA)²

AE = √(6 +4)² + (-3 +3)²

AE = √10²

AE = 10

donc AE = DC = 10

on admet qu'un parallélogramme qui à ses diagonales de meme mesure

est un rectangle

voilà (un peu long mais j'espère que tu as compris )

bonne aprem