bonsoir, aide moi svp et merci, soient m et n de N tels que m supérieure a n a)Monter que m+n et m-n ont la méme paritée b) Résoudre dans N×N l'équation m-n (to

Réponse :

a) montrer que m+n et m-n ont la même parité

sachant que m, n ∈ N  tel que m ≥ n

* 1er cas:  m et n sont tous deux pairs

m = 2 p   avec p ∈ N

n  = 2 q     avec  q ∈ N

.................

m+n = 2 p + 2 q = 2(p+q)     donc p' = p+q ∈ N

m+n = 2 p'  ⇒ m+n  est pair  

m = 2 p   avec p ∈ N

n  = 2 q     avec  q ∈ N

.................

m-n = 2 p - 2 q = 2(p-q)     donc p' = p-q ∈ N  car p ≥ q

m-n = 2 p'  ⇒ m-n  est pair

* 2ème cas :   m impair et n pair

m = 2 p + 1         p ∈ N

n = 2 q              q ∈ N

........................

m+n = 2 p + 1 + 2 q

       = 2(p+q) + 1        avec p' = p+q ∈ N

       = 2 p' + 1   impair  ⇒ m+n est impair

m-n = 2p+1 - 2 q

      = 2(p - q) + 1     avec  p' = p - q  ∈ N    car  p ≥ q  

donc m-n est impair

* 3ème cas :   m impair et  n impair

m+ n = 2p+1+2q+1 = 2(p+q+1)    avec p+q+1 = p' ∈ N

 donc m+n est pair

m-n = 2p+1 -2q - 1

       = 2p-2q

       = 2(p-q)   avec p-q = p' ∈ N   car  p ≥ q

donc m-n est pair

b) résoudre dans N x N  l'équation  m² - n² = 196

(m + n)(m - n) = 196

m+n et m-n sont tous les deux pairs  car  196 est pair  et on a; m+n ≥ m-n

de plus m+n et m-n sont deux diviseurs pairs de 196

on a donc deux cas possibles

a) m+ n = 98  et m-n = 2  ⇔ m = 2 + n  ⇒ m = 48 + 2 = 50

(m ; n) = (50 ; 48)

b) m+n = m-n = 14   ⇔ m = 14  et n = 0

(14 ; 0)

2 + n + n = 98  ⇔ 2 n = 96  ⇔ n = 96/2 = 48  

Explications étape par étape :