Bonjour j'ai un dm a faire pour les vacances mais je comprends pas cette exercise On suppose que racine de 2 est un quotient de deux entier relatif p et q. Il p

Réponse :

1) démontrer que 2q² = p²

√2 = p/q   avec p et q deux entiers relatifs

(√2)² = (p/q)²  ⇔ 2 = p²/q²   ⇔ p² = 2 q²  

on en déduit que p² est pair

2) démontrer que p est pair

p² est pair ⇒ p est pair

pour le démontrer on utilise la contraposée

p pas pair ⇒ p² pas pair   autrement  

p impair ⇒ p² impair

p impair  ⇔ p = 2 k + 1   avec  k ∈ Z  ⇒ p² = (2 k + 1)²

                                                                     = 4 k² + 4 k + 1

                                                                     = 2(2 k² + 2 k) + 1     k' = 2k²+ 2k

                                                                      = 2 k' + 1

donc p² est impair

donc  p² pair ⇒ p pair

3) p étant pair,  p peut s'écrire   p = 2 p'      

que peut -on en déduire pour la parité de q

 q² = p²/2 ⇔ q² = 4 p'²/2   ⇔ q² = 2 p'²   on en déduit que q² est pair ⇒ q est pair

que peut-on dire de la fraction  p/q  n'est pas irréductible

or  par hypothèse p/q est irréductible c'est à dire p et q  sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent pas être pairs simultanément;  on abouti à une contradiction

donc  √2 n'est pas rationnel

et donc √2 est un irrationnel  

Explications étape par étape :