Bonsoir, aidez moi svp juste pour la QUESTION 2 de cet exercice svpppppp, c’est pour demain !! Merci beaucoup !!!

Réponse :

1) a) Montrer que ^BOC = 2α

le triangle AOC est isocèle en O  car OA = OC  = r

donc ^OAC = ^OCA = α

^AOC = 180° - ^BOC

la somme des angles dans le triangle AOC  est :  

^AOC + ^OAC + ^OCA = 180°  ⇔ 180° - ^BOC + 2α = 180°

⇔ - ^BOC + 2α = 0   ⇔ ^BOC = 2α

b) calculer β en fonction de α

BOC  triangle isocèle en O  car OB = OC = r

^OCB = ^OBC = β

2α + 2β = 180°   ⇔ 2β = 180° - 2α   ⇔ β = (180° - 2α)/2   ⇔ β = 90° - α

en déduire que l'angle ^ACB est droit

α + β + ^ACB = 180°   ⇔ α + (90° - α) + ^ACB = 180°  

⇔ 90° + ^ACB = 180°  ⇔ ^ACB = 180° - 90° = 90°

2) a) montrer que cos (α) =  AH/AC = AC/AB

 Triangle ACH rectangle en H  on a; cos (α) = AH/AC

 Triangle ABC rectangle en C,  on a;  cos (α) = AC/AB

d'où l'on obtient  AH/AC = AC/AB

b) montrer que AH = 1 + cos (2α)

  triangle COH  rectangle en H  on a  cos (2α) = OH/OC    

or OC = r = AB/2 = 1   et OH = AH - OA  = AH - 1   car  OA = r = 1

donc  cos (2α) = AH - 1  ⇔ AH = 1 + cos (2α)

c) exprimer cos (2α) en fonction de cos (α)

   AH/AC = AC/AB   ⇔ AH = AC²/AB   ⇔ 1 + cos(2α) = 4 cos² (α)/2  

⇔  1 + cos(2α) = 2 cos² (α)    ⇔ cos(2α) = 2cos²(α) - 1

d) en déduire que cos (α) = √((1 + cos (2a))/2)  

cos(2α) = 2cos²(α) - 1 ⇔ 2 cos²(α) = 1 + cos (2α)   ⇔ cos²(α) = (1+cos(2α))/2

⇔  cos (α) = √((1 + cos (2a))/2)

3) calculer les valeurs exactes de  cos(π/8) et de cos (π/12)

 cos (π/8) = √(1+ cos(π/4)/2)    or   cos(π/4) = √2/2

                 = √(1 + √2/2)/2)

                 = √(2+√2)/2

cos(π/12) = √(1+cos(π/6))/2)        cos(π/6) = √3/2

               = √(2+√3)/2

Explications étape par étape :