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Réponse:

Données :

OB = 1cm; AB = 2cm;

OA= OC ; BC = BF

2) calcul OA et BC

♦ OA

ABO est un triangle rectangle en B en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABO on a :

OA² = OB² + AB²

==> OA = √(OB² + AB²)

AN: OA = √(1² + 2²)

= √(1 + 4)

OA = √5 cm

♦ BC

BC = BO + OC or OA= OC

==> BC = BO + OA

AN: BC = 1 + √5 cm

3) calcule le périmètre puis l'aire du rectangle ADCB et du carré BCEF

♦ périmètre et aire du rectangle ADCB

Dans le rectangle ADCB ,

Longueur = BC = 1 + √5 cm et Largeur= AB = 2cm

Périmètre= (L + l) × 2

AN: P = (1 + √5 + 2) × 2

= (3 + √5) × 2

P = 6 + 2√5 cm

Aire = L × l

AN: Aire = (1 + √5) × 2

Aire = 2 + 2√5 cm²

♦ périmètre et aire du carré BCEF

Périmètre = Côté × 4 avec BC l'un des côtés du carré

AN: P =(1 + √5) × 4

P = 4 + 4√5 cm

Aire = Côté × Côté

AN: Aire = (1 + √5)(1 + √5)

= 1² + 2 × 1 ×√5 + (√5)²

= 1 + 2√5 + 5

Aire = 6 + 2√5 cm²

4) a. calculer le produit AF × AB puis comparer le résultat avec celui de AD²

AF = AB + BF et BF = BC

==> AF × AB = (AB + BC) × AB

AF × AB = AB² + AB × BC

AN: AF × AB = 2² + 2 × (1 + √5)

= 4 + 2 + 2√5

AF × AB = 6 + 2√5 cm²

ADCB est un rectangle donc AD = BC = 1 + √5cm et AB = DC = 2cm

AD² = (1 + √5)²

= (1 + √5)(1 + √5)

= 1² + 2 × 1 ×√5 + (√5)²

= 1 + 2√5 + 5

AD² = 6 + 2√5 cm²

Comparaison :

AF × AB = AD² = 6 + 2√5 cm²

b. Déduire que AF/AD = AD/AB = (1 + √5)/2

d'après ce qui précède :

AF × AB = AD² = 6 + 2√5 cm²

en divisant les égalités par AD , on a

(AF × AB) / AB² = AD²/AB = 6 + 2√5 / AB²

==> AF/AB = AD²/AB² = 6 + 2√5 / AB²

==> AF/AB = (AD × AD) / AB² = 6 + 2√5 / 2²

==> AF/AD = (AD × AB)/AB²= (6+ √5)/4

==> AF/AD = AD/AB = (1 + √5)/2