Bonjour je suis en seconde et j'ai besoin d'aide pour mon devoir de math. 1. Par disjonction de cas, montrer que pour tout entier relatif n, 3n2 + n est pair. R
Question
1. Par disjonction de cas, montrer que pour tout entier relatif n, 3n2 + n est pair.
Rappel : La disjonction de cas consiste à séparer deux cas différents, et à montrer la propriété dans
ces deux cas
2. En raisonnant par l'absurde, montrer que, pour tout entier relatif n, si n2 + 5 est impair alors n est pair.
Rappel : Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que la propriété est fausse, et à en déduire une absurdité.
merci d'avance
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ bonjour Lucas d' Orléans !
■ enfin un exo rigolo !! ☺
■ cas du nombre PAIR ( avec n = 2p ) :
3n² + n devient 3(2p)² + 2p = 3*4p² + 2p
= 12p² + 2p
= 2p(6p+1) qui est bien PAIR !
■ cas de l' IMPAIR ( avec n = 2q + 1 ) :
3n² + n devient 3(2q+1)² + 2q+1 = 3(4q²+4q+1) + 2q+1
= 12q²+12q+3 + 2q+1
= 12q² + 14q + 4
= 2(6q² + 7q + 1) qui est bien PAIR !
■ 2°) n² + 5 IMPAIR donne n² PAIR donc n² = 4 ; 16 ; 36 ; 64 ; 100 ; ...
d' où n = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ...
qui sont bien PAIRS !
supposons n IMPAIR :
alors n = 2q+1
donc n² + 5 devient (2q+1)² + 5 = 4q² + 4q + 1 + 5
= 4q² + 4q + 6
= 2(2q² + 2q + 3) qui est PAIR !
supposons n PAIR :
alors n = 2p
donc n² + 5 devient (2p)² + 5 = 4p² + 5
= PAIR + IMPAIR
= IMPAIR !
conclusion : (n²+5) IMPAIR ⇒ n PAIR .