Bonjour, j’ai cet exercice dans mon dm sur le paradoxe de Zénon d’élée. Il concerne les suites et les limites. Merci en avance pour votre aide.

Bonjour :))

• Question 1

[tex](U_n)\ d\'efinie\ sur\ \mathbb N\ par:\ U_n=\frac{1}{2^{n}}\\\\\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n}}}=\frac{2^{n}}{2{n+1}}=\frac{2^{n}}{2*2^{n}}=\frac{1}{2}\\\\(U_n)\ est\ une\ suite\ g\'eom\'etrique\ de\ raison\ q=\frac{1}{2}\ et\ de\ premier\ terme\\U_0=\frac{1}{2^{0}}=1\\\\Donc\ U_n=1*(\frac{1}{2})^{n}[/tex]

• Question 2, a)

[tex]Pour\ une\ suite\ g\'eom\'etrique\ on\ a:\\1+q+q^{2}+...+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\Ici,\ on\ a:1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{n-1}} = 1 + q + q^{2}+q^{n-1}\\\Leftrightarrow \frac{1-q^{n}}{1-q}[/tex]

• Question 2, b)

[tex]S_n=50*(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n-1}})\\\\\boxed{S_n=50*\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}}[/tex]

• Question 3

[tex]RAPPEL:\lim_{n \to \infty} q^{n}=0\ \ \ si\ 0<q<1\\\\ \lim_{n \to \infty} S_n=50*\frac{1-0}{1-\frac{1}{2}}=50*2=100[/tex]

• Question 4

[tex]La\ limite\ d'une\ suite\ finie\ pr\'ecise\ que\ la\ suite\ se\ rapproche\ de\ la\ valeur\\ finie\ quand\ n\ devient\ de\ plus\ en\ plus\ grand\ sans\ jamais\ atteindre\\cette\ valeur\ finie.\\\\On\ v\'erifie\ donc\ le\ paradoxe\ de\ Zenon\ El\'ee.[/tex]