Bonjour, pouvez-vous m’aider je ne comprends rien a ces devoirs?Merci d’avance

Réponse :

a) démontrer que pour tout entier naturel n  non nul

         1/n  - 1/(n+1) = 1/n(n+1)

 1/n  - 1/(n+1) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1)

                     = (n + 1 - n)/n(n+1)

                     = 1/n(n+1)

b) en déduire la valeur de la somme S définie par :

  S = 1/(1 x 2)  + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + ...... + 1/(2020 x 2021)

on utilise le résultat de la question a)

1/(1 x 2) = 1/1 - 1/(1 + 1) = 1 - 1/2

1/(2 x 3) = 1/2 - 1/(2 + 1) = 1/2 - 1/3

1/(3 x 4) = 1/3 - 1/(3 + 1) = 1/3 - 1/4

..............

1/(2020 + 2021) = 1/2020 - 1/(2020 + 1) = 1/2020 - 1/(2021)  

 S = 1/(1 x 2)  + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + ...... + 1/(2020 x 2021)

     = (1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+ .....+ (1/2019 - 1/2020) + (1/2020 - 1/2021)

donc   S = 1 - 1/2021

               = 2020/2021    

               ≈ 0.9995

Explications étape par étape :