soient m,n,k des entiers naturels Montrer que si 3n+2m et 7n+5m sont des multiples de k alors n et m sont aussi des multiples de k

3n+2m est multiple de k donc il existe un entier p tel que 3n+2m=pk
7n+5m est multiple de k donc il existe un entier q tel que 7n+5m=qk
On a donc 15n+10m=5pk et 14n+10m=2qk
En soustrayant les 2 expressions on a :
n=5pk-2qk=(5p-2q)k
Comme 5p-2q est un entier, n est un multiple de k
De même, 21n+14m=7pk et 21n+15m=3qk
En soustrayant les 2 expressions on a :
m=3qk-7pk=(3q-7p)k
Comme 3q-7p est un entier, m est un multiple de k