Bonjour, vous pouvez m’aider pour mon dm de maths svp Le but de cet exercice est de démontrer que √2 est un irrationnel. 0) Préambule : Qu'est ce qu'un rationne

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Le préambule : tu peux le faire seul(e).

a/b : fraction irréductible ==>a et b sont premiers entre eux OU ils n'ont pas de diviseurs communs , excepté 1.

1)

Tu as mal recopié l'énoncé !! Je suppose que c'est :

Supposons que :

√2=a/b avec a/b qui est une fraction irréductible.

Chaque membre est positif : on peut donc élever au carré :

(√2)²=(a/b)²

2=a²/b²

a²=2b²

2)

2b² est pair donc a² qui lui est égal est obligatoirement pair.

Montrons que si a² est pair , alors a est pair (avec a > 1) :

Prenons "a" impair . Il peut alors s'écrire :

a=2n+1 qui est bien impair.

a²=(2n+1)²=4n²+4n+1=4(n+1)+1

4(n+1) est multiple de 4 donc est pair , ce qui fait que 4(n+1)+1 qui est le nombre suivant est impair.

Donc :

Si a est  impair, alors a² est obligatoirement impair.

Prenons "a" pair . Il peut alors s'écrire :

a=2n

a²=4n² qui est pair.

Conclusion :

Si a² est pair , alors "a" est pair.

3)

Posons :

a=2c

a²=2b² devient :

(2c)²=2b²

4c²=2b²

b²=4c²/2

b²=2c²

4)

2c² est pair donc b² qui lui est égal est aussi pair.

5)

On a donc "a " qui est pair et "b" qui est aussi pair.

Donc "a" et "b" sont divisibles par 2 et la fraction a/b n'est pas irréductible.

Donc √2 ne peut pas s'écrire sous la forme a/b.

Et √2 est donc un nb irrationnel.