Bonjour, est-ce que je pourrais avoir confirmation que la dérivée de f( x) = 1 + exp(x) + xexp(x) est bien f’(x) = exp(x) (1+x) svp Et que celle de g(x)= x/(1+e

Réponse :

Attention f'(x) = e^x(2 + x)

et g'(x) = [x+e^(1/x)(1+x)]/x.(1+e^(1/x))²

Tu as sans doute oublié la fonction composée...

Bonne soirée

Explications étape par étape :

Réponse:

f( x) = 1 + exp(x) + xexp(x)

la dérivée de xexp(x) est : xexp(x) + exp(x)

donc f' (x) = exp(x) + xexp(x) + exp(x)

= 2exp(x) + xexp(x)

f'(x) = exp(x) ( 2 + x ) donc ta dérivée n'est pas juste

g(x)= x/(1+exp(1/x))

==> g'(x) = (x/(1+exp(1/x)) )'

= (x'(1 +exp(1/x) ) - (1 + exp(1/x))' × x )/ (1 + exp(1/x))²

= (1 + exp(1/x) - (- exp(1/x)/x²) × x) / (1 + exp(1/x))²

= (1 + exp(1/x) + exp(1/x)/ x) / (1 + exp(1/x))²

= (x(1 + exp(1/x)) + exp(x) )/x / (1 + exp(1/x))²

g'(x) = (exp(1/x)(1 + x) + x) )/x / (1 + exp(1/x) )²

Explications étape par étape:

la dérivée de x est : 1 et la dérivée de 1 est : 0

la dérivée de exp(x) est : exp(x)

♦xexp(x) est une fonction composée soit f(x) = x

et g(x) = exp(x)

(f × g)' = f' x g + g' × f

= x' × exp(x) + exp(x)' × x

= 1 × exp(x) + xexp(x)

= exp(x) (1 + x)

♦exp(1/x) est une fonction composée.

soit f(x)= exp(x) et g(x) = 1/x ==> g'(x) = -1/x²

la dérivée de u/v = (u'v - v'u) /v²

(f o g)' = f'[g(x)] × g'

= exp(1/x) × (-1/x²)

= exp(x) × -1/x²

= - exp(x)/x²